Теорема об интегральном представлении функций класса C²:

Если функция  непрерывна, имеет непрерывные первые производные в  вплоть до границы и непрерывные вторые производные всюду в  (вместе с границей), то  

где - расстояние от фиксированной точки  до переменной точки в .

- внешняя нормаль к области .

Доказательство:

Из 2й формулы Грина для в области  с границей  выберем . Известно, что - фундаментальное решение уравнения Лапласа . Для того, чтобы воспользоваться формулой Грина, удалим из  (точку) шар с центром в точке   и радиусом ( шар  с границей  целиком лежит в ).

 

Теперь можем использовать 2ю формулу Грина:

- шар радиуса  с центром в точке .

-гармоническая функция. . Применим теорему о среднем

, где - усредненная.

Теорема доказана.

При  в исходной формуле станет несобственным интегралом, а предел интеграла будет равен .

Следствия из теоремы:

1.      - гармоническая в области    

Основная формула представления гармонической функции.

2.      Двумерный случай. ,

т.к.  - фундаментальное решение уравнения Лапласа.

Функция Грина может быть построена для ограниченного числа фигур.

 

Для построение можно использовать инверсные точки.

Определение. Две точки  называются сопряженными (инверсными) относительно плоскости или прямой если они симметричный относительно этой плоскости или прямой.

Определение. Две точки  называются сопряженными относительно поверхности сферы, если они лежат на одном луче, исходящем из центра сферы или окружности, и произведение их расстояний от центра равно квадрату радиуса.

Сущность метода Грина

 

 

Сущность метода: найти решение задачи (1) – (2) при специально заданной функции f

 

 

От (1-2) перешли к (3-4). Потребуем, чтоб функциия Грина была непрерывна со своими частными производными первого порядка, кроме может быть точки , где он имеет особый разрыв.

Если функция Грина построена, то ч помощью её будем решать задачу (1-2) используя вторую формулу Грина.

 (5)

Запишем (5) учитывая (1) и (3):

 

 (6)

Работаем с

Задача Дирихле:

Задача Неймана:

так можно решать задачу, если задана функциия Грина

 

Рассмотрим случай, когда заданы 3-и К.У.

 

распишем {}

{}=

тогда

Поверхности Ляпунова

Поверхности Ляпунова – это поверхности класса , где

Если Г – поверхность Ляпунова, то она имеет в каждой точке определенную нормаль, сущ. Такие постоянные ,  и , для которых справедливо , , , то это означает, что если x – произвольная точка границы Г, то сфера  - радиус которой , а центр – x, вырезает из поверхности Г участок Г(x), который в местной (локальной) системе координат связан с точкой x  может быть задан уравнением вида

, где «`» - проекция данной точки на касательную плоскость Г в точке x, т.е. на плоскость

 

Можем рассмотреть точку  m-1 пространства

Если  и - две точки участка Г(x), а t -  любое направление плоскости , то

это ограничение на гладкость поверхности

т.е. есть особые точки, где не можем построить касательную плоскость.

Будем в каждой точке строить локальную систему координат

 

Функция Грина (функция источника) позволяет получить решение линейной дифференциальной задачи связанной с интегральной и дифференциальной формулировками.