Сведение дифференциальных краевых задач к интегральным уравнениям (теория потенциалов)

Переход от краевых задач к интегральным уравнениям – решение ищется в виде интегралов определенного вида, потенциалов с неизвестной плотностью заряда или с неизвестной плотностью распределения масс. Т.е. будем искать плотность.

Объемные потенциалы.

Потенциал поля, созданного точечным зарядом сосредоточен в области D и определяется следующим образом:

 (1)

- объемная плотность заряда.

- несобственный интеграл обладает свойством равномерной сходимости => сходимость в точке M.

- непрерывен в этой точке.

Пусть  - ограничена, тогда объемный потенциал (1) обладает следующими свойствами:

- (1) определен и непрерывен всюду

- (1) имеет все непрерывные производные первого порядка по координатам точки M

- (1) – гармонич. функция вне области D (вне той области, где расположены заряды)

- в точках области D объем. потенциал:  (2)

(1) удовлетворяет уравнению Пуассона при стремлении точки наблюдения в бесконечность.

Потенциал простого слоя.

Пусть заряд распределен по поверхности S объема V и плотность , тогда потенциал этого распределенного по поверхности заряда:

 - потенциал простого слоя (3)

Свойства:

1. Потенциал простого слоя определен всюду, т.е. (3) – сходится абсолютно.
2. всюду непрерывен
3. является гармонич. ф-ей  всюду, кроме точек несущей поверхности S.
4. Если S ограничена, то потенциал простого слоя –> 0, когда точка M -> к бесконечности.
5. Нормальные производные потенциала простого слоя имеют разрыв первого рода в точках поверхности S, при этом скачок =

 

Для двумерного случая

 

для этого интеграла справедливы свойства 1, 2, 3. При  , как

Скачок нормальной производной в точках кривой C:

Свойство 4 не выполняется.

Потенциал двойного слоя

S – двусторонняя поверхность, на которой расположены диполи с плотностью

Диполи распределены так, что их оси совпадают в каждой точке с положительным направлением нормали, тогда потенциал поля, создаваемого диполями:

 - потенциал двойного слоя. (4)

Существует ещё одно представление

 (5)

Потенциал двойного слоя определен и в точках несущей поверхности S.

 

Свойства:

1) Потенциал двойного слоя определен и в точках несущей поверхности S.

2) В точках M, не лежащих на поверхности, ПДС - гармоническая функция.

3) При стремлении M к бесконечности

4) Если - плотность,  непрерывна на S, то  имеет разрыв первого рода в точках несущей поверхности S со скачком

 

- стремление к  изнутри области

 

Для двумерного потенциала двойного слоя.

 

С – контур, на котором расположены диполи. Справедливы свойства 1, 2.

 

 

Интегральное представление функции класса :

{} – объемный потенциал

 - потенциал простого слоя

 - потенциал двойного слоя

 

Свяжем это представление с некоторой краевой задачей, для этого определим плотности:

 

- объемная плотность

- простого слоя  (Нейман)

- двойного слоя   (Дирихле)

 

1)

2)

 

Для решения задачи Дирихле воспользуемся потенциалом двойного слоя, для решения задачи Неймана – потенциалом простого слоя.

 

Рассмотрим задачу: m=3

 

 

 

 - предельное значение потенциала двойного слоя при  изнутри области

 - извне.

 

На границе S потенциал двойного слоя терпит разрыв

 

 - внутренняя задача Дирихле

 - внешняя задача Дирихле

 

 - прямое значение потенциала двойного слоя

 - необходимо найти

 

 получим интегральное уравнение 2-го рода относительно

 

Для двумерной аналогично.

 

Если воспользуемся потенциалом простого слоя, то найдем аналогичное интегральное ДУ для условий Неймана.

 

Интеграл Гаусса

, где - граница области . Имеем скачок .