Решение задачи Коши для гиперболического уравнения

Рассмотрим однородное ДУ в частных производных:

Пусть это уравнение гиперболического типа, т.е. , тогда характеристическое уравнение имеет два действительных и различных решения. После замены,получим

Решениями будут две функции

Тогда . Получим вторую каноническую форму гиперболического ДУ:

(2)

Если , где - область изменения и , и - выпуклая область в, то можно произвести следующее преобразование

(3)

Докажем, что решение ДУ представимо в виде суммы двух функций и. Пусть задано гиперболическое уравнение. Зададим два начальных условия (т.к. уравнение второго порядка).

(1)

Составим матрицу старших коэффициентов

Уравнение имеет два корня:

Соответствующие характеристические уравнения

Ищем решение (1) в виде (4). Если , то и . Сделаем замену переменных для (1). В результате получим уравнение (2), которое можно представить в виде (3). Докажем что так можно делать. Введем следующие обозначения . Тогда (2) выглядит так (5)

=> не зависит от =>

(7)

Получили обыкновенное ДУ. В результате интегрирования получим (8) =>

Функция -отклонение струны в точке в момент времени .

Зафиксируем точку . Пусть из в положительном направлении оси в момент времени начинает двигаться наблюдатель со скоростью => В момент наблюдатель окажется в точке . Величина отклонения будет равна , т.о. наблюдатель в любой момент времени будет видеть в точке, в которой он находится, одну и ту же величину отклонения, равную => если задать начальный профиль, он будет двигаться со скоростью в положительном направлении оси , не изменяя при этом своей формы.

прямая бегущая волна

обратная бегущая волна

Решение волнового ( гиперболического) уравнения может быть представлено суперпозицией двух волн- прямой и обратной. Получим формулу этого представления.

Решим задачу Коши

(1)

Разобьем задачу на две:
1. Однородная задача с заданными неоднородными начальными условиями

(*)

2. Неоднородная задача с однородными начальными условиями

(**)

Тогда .

Решим первую задачу

(2)

Ищем решение задачи (*) в виде (2). Среди всех решений вида (2) найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям (*).

(3)

Проинтегрируем уравнение (3.2) и получим разрешимую систему:

(4)

(5)

(5) (2) Получим формулу Даламбера

(6)

Мы предположили, что решение задачи Коши существует и получили (6) => это решение единственно. Если обладает 1-й и 2-й производными, а 1-ой, то формула (6) дает искомое решение однородной задачи Коши (проверяется подстановкой). Построив решение задачи Коши, мы доказали его существование. Такой метод построения решения называется методом характеристик.

Решим вторую задачу.

Сначала построим вспомогательную функцию (Решить ее просто так нельзя) :

для

Эту задачу мы решать умеем. Тогда (решение задачи (2)) равна:

(7)

Докажем это. По правилу дифференцируя интеграл с переменным верхним пределом по параметру находим

Воспользуемся начальным условием

(7),(8) удовлетворяет всем краевым условиям

Продифференцируем (8) по и используем условие

Получим

(9)

Найдем

(10)

(9),(10)

Используем условие представление (7) справедливо. Доказав возможность представления решения в виде (7) можем найти , предварительно определив функцию . Функция находится с помощью формулы Даламбера (6), в которой .

(11)

(11)(7)

(12)

полностью найдена.

(формулы (6) и (12))

Теперь покажем что и (6) и (12) устойчивы к малым изменениям входных данных. Формула Даламбера дает решение задачи Коши, если и имеют производные . Однако, существуют задачи, когда эти условия не выполняются.