Общие сведения о дифференциальных уравнениях в частных производных

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.

Квазилинейным уравнением второго порядка называется уравнение вида

         (1)

Положим                              (2)

A(x) называется матрицей старших коэффициентов. При условии (2) она будет симметричной.

Уравнения второго порядка классифицируют в зависимости от собственных значений матрицы А(x). Если А симметричная, то все собственные значения вещественны. Пусть есть n собственных  значений. Из них штук положительны,  штук отрицательны иштук равны нулю. Обозначим это через .()

В рассматриваемой точке  равнение (1) принадлежит типу  на некотором точечном множестве, если оно принадлежит типу  в каждой точке этого множества. Если старшие коэффициенты в уравнении (1) постоянны, то тип уравнения один и тот же во всех точках пространства. Если изменить знаки всех членов уравнения, то  и  поменяются местами, значит типы уравнений  и  тождественны.

Классификация типов

I.

Все собственные значения матрицы ненулевые и одного знака.

II.

III.

Приведение ДУ к каноническому виду

Канонический вид ДУ предполагает отсутствие смешанных производных. Тогда матрица А имеет диагональный вид.

Сделаем замену переменных . Пусть  Якобиан

                                                                    (3)

Значит, можно выразить  и .

Найдем                                                          (4)

Подставим (4) в (1)и получим

       (5)

Пусть

Тогда уравнение имеет вид

                  (6)

Внешний вид уравнения остался тем же.

Зафиксируем точку . Обозначим . Тогда  (5) запишется так

                  (7)

Выражение (7) – аналог преобразования квадратичной формы.

                    (8)

- невырожденное линейное преобразование,                         (9)

Получим новую квадратичную форму

                  (10)

Утверждение

Всегда существует невырожденное преобразование типа (9), при котором квадратичная форма (8) принимает канонический вид.

Т.е.                    (11)

В выражении (11) значит  или => это уравнение эллиптического типа.

Если , но  => гиперболическое уравнение

Если , то уравнение параболическое.

Пусть есть некоторая функция  и ,  и такова, что на поверхности  выполняется и    (*) , тогда поверхность   называется характеристической поверхностью (характеристикой) для квазилинейного ДУ в частных производных (1).

Уравнение (*) называется характеристическим уравнением. Если  характеристика будет линией.