Уравнения эллиптического типа

Определяют пространство физических процессов, которые не являются функциями времени.

Для электромагнетизма уравнения Максвелла:

. Здесь  – нормальные составляющие, а  – тангенциальные составляющие,  – магнитная проницаемость,  – электрическая проницаемость.

Если  и , то

.

 

Если магнитное поле порождается постоянным током, то .

Пусть есть гармоническая зависимость от времени и есть система уравнений Максвелла, тогда получим квазистационарную задачу:

Пусть , тогда

К уравнениям эллиптического типа привела попытка записать взаимодействия  между двумя телами, находящимися на большом расстоянии друг от друга.

Наличие какого-нибудь притягивающего тела в пространстве влечет за собой возникновение в пространстве некоторой субстанции, интенсивность которой в каждой точке может быть вычислена:

-масса притягивающего тела,   – координаты положения притягивающего тела.

ДУ описывает взаимодействие между двумя соседними элементами поля и следовательно задача дальнодействия сведена к задаче близкодействия.

Уравнение не действует   в точке сосредоточения масс .

Рассмотрим операторное уравнение Лапласа в -мерном случае:

Будем рассматривать .

Функция  называется гармонической в области , если она дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Функция  называется гармонической в бесконечномерной области  , если в каждой точке этой области, находящейся на конечном расстоянии от  начала координат, функция дважды непрерывно дифференцируема, удовлетворяет уравнению Лапласа и на бесконечности имеет порядок . При достаточно больших  имеет место неравенство .

В случае (двумерной области) условие означает, что гармоническая функция в бесконечной области ограничена на  бесконечности.

Замечание:

            Определение гармонической функции не накладывает никаких ограничений на поведение функции на границе области.