Интегральные уравнения
Общий вид: 
(1)
– неизвестная функция,
- ядро интегрального
уравнения,
- правая часть, точки 
и 
не выходят за пределы
области 
.
Если одномерная, то 
(2)
Уравнения (1) и (2) линейные интегральные уравнения Фредгольма второго
рода. Пределы интегрирования могут быть равны 
(т.е. бесконечными). Ядро и правая часть либо непрерывны,
либо удовлетворяют следующим условиям:
- измеримое множество
в пространстве любого числа переменных,
точки 
, 
- неотрицательная
мера, определённая на .
Ядро уравнения и правая часть
удовлетворяют условиям:
Ядро,
удовлетворяющее соотношению , называется Фредгольмовским ядром.
Решая уравнения Фредгольма выписываем предположения:
- квадратично
интегрируемая в или на 
, т.е. 
.
Для решения 
, 
.
Если ядро удовлетворяет , то 
определяет
интегральный оператор, действующий в пространстве 
. Этот оператор любую функцию из переводит в функцию 
,
.
Если 
- лебегова мера 
и оператор Фредгольма
действует в .
Если - область или
поверхность Евклидова пространства, тогда 
- это элемент объёма
или элемент поверхности.
Пусть 
- Фредгольмовское
ядро, тогда оператор переводит в 
, 
.
Введём понятие тождественного оператора.
, тогда уравнение 
и можно записать в виде:
.
Если 
- произвольная
величина:
рассмотрим однородное уравнение, тогда оно будет иметь решение
(правильное значение ) 
. Правильное значение - значение, при
котором 
имеет только
тривиальное решение.
Если для данного ядра 
, при котором имеет нетривиальное
решение, то это значение параметра называют характеристическим значением.
Соответствующее ему решение называют собственными
функциями ядра 
. Величины, обратные к характеристическим, называют собственными величинами.
Рассмотрим случай
,
,
- уравнение Фредгольма первого рода.
Так как уравнения Фредгольма второго рода относятся к классу ?????????, то для него справедливо, что общее решение имеет вид:
, где
- частное решение,
- общее решение
соответствующего однородного уравнения.
