Интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром

Ядро  интегрального уравнения Фредгольма (2) называется вырожденным, если его можно представить в виде конечной суммы производных двух функций, одна из которых зависит от , а другая от :

                        .                                                                                 (1)

Рассмотрим уравнение с таким ядром:

                                                                                  (2) 

 - непрерывная на  функция.

Пусть уравнение (2) имеет решение , тогда обозначим через

,                                                                                         (3)

Подставим (3) в (2) получим

                                                                                                    (4)

Решение интегрального уравнения с вырожденным ядром сводится к определению постоянных . Заменим в (4)  на , умножим обе части (4) на  и проинтегрируем правую и левую части по  от  до :

            ,                                            (5)

тогда для  воспользуемся (3), получим из (5) систему линейных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять коэффициенты :

                                                                                                            (6)

Если (6) не разрешима, то интегральное уравнение (2) не разрешимо.

Пусть система (6) имеет решение , тогда подставив в (4), получим .

 

Вывод:

Интегральное уравнение (2) и СЛАУ (6) эквивалентны в том смысле, что разрешимость системы (6) влечёт разрешимость уравнения (2) и наоборот.

 - определитель системы (6) – многочлен относительно  степени не выше , отличен от нуля, так как .

             - называется определителем Фредгольма интегрального уравнения (2).

Корни уравнения  называются характеристическими числами ядра .

Если  не совпадает ни с одним из корней этого уравнения, то  система (6) однозначно разрешима , отсюда следует первая теорема Фредгольма.

Первая теорема Фредгольма          

Если  не является характеристическим числом, то интегральное уравнение (2) имеет единственное решение , определяемое формулой (4), и это Справедливо при любых правых частях .

Если , то соответствующее однородное уравнение будет иметь только тривиальное решение. Так как (6) – однородная система СЛАУ с отличным от нуля определителем. Запишем (6) по формулам ядра, затем определители можем разложить по элементам столбца свободных членов:

            ,                                                                                            (9)

где  - многочлен от , степени не выше .

Подставляя (9) в (4), получим с учётом, что

            ;

            ;

            (ПРОВЕРЬТЕ ПРАВИЛЬНОСТЬ)        (10)

                                                                                       (11)

функция  - резольвента, разрешающая ядро.

При фиксированных  и   - дробно-рациональная функция от . При любом значении характеристическому значению резольвента – непрерывная функция по  и

а)  - характеристическое число ядра , тогда определитель системы (6) равен нулю. Соответствующая 

                                                                                                             (12)

однородная система может иметь  - линейно независимых  вектор – решений:

            , где , тогда

                                                                                                              (13)

- нетривиальные решения соответствующего однородного уравнения.

 

            .                                                                     (1)

Введём понятие сопряжённого оператора:

 Рассмотрим это интегральное уравнение для случая

            .                                                                               (2)

Сопряжённым ядром к ядру  назовём ;

            .                                                                             (3)

Это уравнение называется сопряжённым относительно уравнения (2).

Для интегрального уравнения (1) с вырожденным ядром сопряжённое уравнение будет иметь вид:

            .                                                                    (4)

Для уравнения (4) решение можно записать в виде:

            .                                                                                      (5)

            , .                                                                                      (6)

Если уравнение (4) однородно, т.е. , то для определения коэффициентов (6) мы получим соответствующую однородную систему:

            , .                                                                                              (7)

Эта система (7) является сопряжённой относительно системы .      (8)

В силу теоремы из курса линейной алгебры обе системы (7) и (8) имеют одинаковое количество , линейно независимых решений. Следовательно, если

            ,  - ненулевые вектор – решения однородной системы (7), то функция ,                                                                                     (9)

функция (9) – собственные функции однородного уравнения (4) при .

Отсюда следует