Вторая теорема Фредгольма:

Если  - характеристическое число ядра , то однородное интегральное уравнение (2) при  и сопряжённое с ним уравнение имеет одно и тоже число линейно независимых собственных функций.

 

3.  - характеристическое (уравнение неоднородное)

тогда разрешимость этого уравнения эквивалентна разрешимости системы неоднородных алгебраических уравнений:

                                 

 

Из курса линейной алгебры известна теорема:

Для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была разрешима необходимо и достаточно, чтобы вектор правой части системы был ортогонален ко всем вектор – решениям сопряжённой однородной системы.

 

Система  будет разрешима тогда и только тогда, когда

             .                                                                                            (*)

Т.е. каждый из  ортогонален ;

            .

Тогда условие ортогональности (*) можно записать в виде:

            , (ПРОВЕРЬТЕ ФОРМУЛУ) (**)

 

Отсюда следует

Третья теорема Фредгольма

Неоднородное интегральное уравнение (1) с вырожденным ядром при характеристическом значении  будет разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть будет ортогональна ко всем решениям сопряжённого к нему ортогонального уравнения.

            Вопрос о разрешимости (1) требует проверки конечного  условий (**). Если они выполняются, то уравнение имеет решение (бесконечное множество).

            , где

 - частное решение неоднородного уравнения (1),

 - общее решение соответствующего однородного уравнения.

Следствием из этих теорем является

Теорема об альтернативе:

            Если однородное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром имеет только тривиальное решение, то соответствующее ему неоднородное уравнение имеет только одно решение. Если однородное уравнение имеет нетривиальное решение, то неоднородное уравнение в зависимости от правой части  в (1) имеет либо бесконечное множество решений, либо не имеет ни одного решения.

Примеры интегральных уравнений 

1.

Ответим на вопрос, является ли данное уравнение Фредгольмовским?

Для этого запишем определение Фредгольмовского уравнения:

условия:

1.

2. ядро уравнения должно быть Фредгольмовским, т.е.

, значит это уравнение Фредгольмовское.

Если рассмотрим уравнение:

, тогда

1.

2.