Решение
неоднородных краевых задач (гиперболический тип).
Метод Фурье
Решение краевых задач методом Фурье возможно ! если известна система собственных функций соответствующей однородной задачи.
– лапласиан.
Будем полагать, что решение 1-3
принадлежит классу А 
.
Т.к. решение принадлежит классу
А, то по теореме Стеклова его можно представить в виде ряда Фурье по собственным
функциям 
соответствующей
однородной задачи
.
Решив ее, найдем 
и 
.
. (4)
. (5)
(
). – результат разделения переменных.
(6)
(6) -> (5):
Из (1) выразим 
(8) и подставим в (7).
Получим:
.
(9)
Из (5) и (9) 
Получим
.
Начальные условия (3): 
(см. 5) – задача Коши.
– решение.
– решение
соответствующего однородного уравнения.
; 
; 
.
.
; 
.
.
Т.о. 
.
.
(10) ->(4):
.
Найдя решение однородной задачи, мы можем найти решение неоднородной задачи в виде ряда Фурье, соответствующего неоднородному уравнению.
2.
– решение.
, 
, 
3.
– решение.
– функция принадлежит
классу 
непрерывных в
замкнутой области 
и имеющих в непрерывные
производные 1-го и 2-го порядка вплоть до границы (2-е не включая) функций. При
этом должна удовлетворять
краевым условиям (15).
– непрерывная
в области ! функция.
решение аналогично задачи I.
Свободные колебания круглой
мембраны
Будем рассматривать радиальные колебания этой мембраны.
Математическая
модель
(1)
.
(2)
; 
(3)
Решение:
. (4)
(4) -> (1)
.
.
. (5)
. (6)
– уравнение Бесселя
порядка 
. Оно имеет счетное количество корней.
2-е функции Бесселя: 1-го и 2-го рода (0-го порядка).
Введем замену 
в нашей задаче.
Подставим последнее в (6):
Решением этого уравнения является 
.
Мы ищем ограниченное решение , т.к. 
при
.
Не нарушая общности, полагаем 
.
.
– краевое условие.
. Оно имеет счетное множество решений.
, 
.
.
.
.
.
, 
– коэффициенты
разложения 
и 
в ряд Фурье по
функциям Бесселя 0-го порядка.
.
– 1-ый порядок.
.
