Сингулярное решение уравнения Лапласа

Пусть  - точки пространства( -мерное пространство ), тогда расстояние между ними

. Введем функцию

Зафиксируем , тогда - функция одной переменной . При  функция – разрывна.

Докажем, что в любой области, не содержащей точку  функция  будет гармонической:

в области, не содержащей  - непрерывна вместе с производными любого порядка на бесконечности

        

Для

Покажем, что функция  удовлетворяет уравнению Лапласа.

Удовлетворяет уравнению Лапласа . То есть -сингулярное решение  уравнения Лапласа при . Оно с определенной скоростью  при

- симметричная относительно переменных.

       

Решение:

бесконечно протяженная плоскость не зависит от , от  обладает  цилиндрической симметрией.

;

Метод Фурье на примере двумерной задачи:

Пусть дана задача:

 

Разделим переменные:

Функция  должна быть периодической по  с периодом , то есть

Тогда .