Связь
между направлением (напряжением) и скоростью деформации
Рассмотрим случай декартовых координат. Возьмем произвольную
точку внутри жидкости и проведем через нее площадку 
и определим нормаль
относительно этой площадки. Компоненты сил, действующих на (
) – некоторые векторы 
, 
, 
. Они определяют некоторый тензор напряжений (матрицу 3х3),
компоненты которого обозначим 
.
Обозначим 
. Тогда формула может быть переписана в виде:
Величина изменяется от точки к
точке в зависимости от времени. В декартовых координатах тензор скорости деформации имеет
следующий вид:
где 
- вектор скорости.
Физический закон, показывающий зависимость тензора напряжений от скорости и давления.
Этот закон, будучи общим, должен быть инвариантным относительно положения системы координат. Т.к. тензор имеет определенный физический смысл, то этот закон должен иметь форму связи между тензорами. Самая простая связь – линейная.
. Отсюда: 
.
Уравнения
количества движения
Рассмотрим произвольный, неподвижный в пространстве, элемент
объема 
(в текучей среде).
Количество движения в этом объеме: 
, а 
- приращение
количества движения за время 
. Количество движения может изменяться по следующим причинам:
- На
данное количество жидкости действуют объемные силы. Равнодействующая этих
объемных сил на любую из осей
будет иметь
соответствующую компоненту 
. - Поверхностные
силы (натяжения) характеризуют действие жидкости на объем поверхностью
:
– поверхностные силы.
- Жидкость
при своем движении переносит через поверхность какое-то
количество движения. Через этот элемент поверхности вытекает объем
жидкости, равный
, т.к. компонента скорости в направлении нормали – это
сумма по 
. Этот объем выносит из объема количество движения со следующей компонентой по оси 
: 
, где 
– плотность
жидкости.
В результате полное изменение компоненты количества движения
по оси определяется следующим
соотношением:
С другой стороны, компоненты по оси количества движения
равны 
.
Воспользовавшись формулой Остроградского-Гаусса, и перейдя от интеграла по поверхности к интегралу по объему, получим уравнение баланса:
Следовательно, подынтегральное выражение равно 0:
– уравнение сохранения количества движения.
Введем уравнение неразрывности. Будем исходить из того, что жидкость рассматривается как сплошная среда.
Рассмотрим идеальную жидкость. Для нахождения в состоянии равновесия реальной жидкости в любом месте выполняется закон изотропности давления. На любую точку поверхности действует давление жидкости, направленное по нормали к этой поверхности, причем величина этого давления одинакова для любого направления нормали к этой поверхности. При движении реальной жидкости этот закон не действует. Его действие прекращается из-за внутреннего трения, которое действует параллельно.
Существует большое количество жидкостей и газов, для которых эти силы внутреннего трения не проявляются при движении. Жидкости и газы, для которых закон изотропности давления выполняется, называются идеальными. Если плотность жидкости или газа везде в области одинаковая, то эту жидкость или газ называют несжимаемыми.
