Уравнение неразрывности (сплошности, сохранения массы)

Уравнение неразрывности характеризует скалярную величину (массу). Объем можно представить как . Тогда, если  – плотность, то . Масса жидкости  может изменяться  за время только за счет изменения ее плотности. Изменение количества жидкости равно . Это означает, что в элемент объема втекает больше жидкости, чем вытекает, но это изменение должно равняться избытку втекающей жидкости над вытекающей, т.е. величине

                                                        

В результате получим уравнение:  , или в кратком виде:

                                                                                                       

Если , значит .

Мы получили полную систему уравнений Навье-Стокса:

                                                

Для идеальной несжимаемой жидкости получаем: , где  – некоторая сила,  – функция от переменных . Пусть в формуле (первой формуле системы Навье-Стокса)  – внешние силы. Тогда частный случай этой формулы может выглядеть так:

                                                                      

Для второй формулы системы Навье-Стокса:

                                                             

                                                                 

Проинтегрировав (первую формулу системы Навье-Стокса) получим Лапласиан.

 – уравнение Эйлера , где диффузионная составляющая отсутствует, присутствует конвекция.

Первая краевая задача (задача Дирихле) для уравнения параболического типа

Через  обозначим часть границы цилиндра, состоящего из нижнего основания  и боковой поверхности.  – конечная область в 3-х мерном пространстве.

Рассмотрим задачу:

Пусть процесс, описываемый этим уравнением, удовлетворяет начальному условию .

.

 – четырехмерный цилиндр, ограниченный снизу и сверху плоскостями ,

 – часть цилиндра ,– диаметр области

Теорема о максимуме (минимуме) функции

Пусть функция , удовлетворяющая однородному параболическому уравнению  внутри цилиндра  и непрерывная вплоть до его границы принимает наибольшее (наименьшее) значение либо при , либо  на боковой поверхности цилиндра  при

 

 

 

 

 

            Доказательство от противного (теоремы о максимуме):

Пусть  наибольшее значение  в цилиндре . – наибольшее значение на границе . Допустим, что существует такая функция , для которой , тогда  пусть эта функция принимает значение  в некоторой точке  .

 Введем функцию

На боковой поверхности цилиндра и на его нижнем основании функция

В точке . Функция  также как и функция  не принимает наибольшее значение ни на боковой поверхности, ни на  нижнем основании. В силу непрерывности , она принимает наибольшее значение в некоторой точке

  , поэтому в этой точке  вторые производные  будут не положительны и , причем .

В точке  должно выполняться .

Из следует, что (так как добавка от  не зависит).

.

(с учетом того, что из себя представляет и так как) получаем

Получили противоречие условию. Теорема доказана.

Теорема свидетельствует о том, что:

1)      Решение первой краевой задачи – единственное в цилиндре .

2)      Решение первой краевой задачи параболического типа непрерывно от начальных и краевых условий