Параболические уравнения

Пусть дана , где  – оператор Лапласа (самосопряженный и положительный).

3-е краевое

.  (2)

.  (3)

Решение ищем в , .

1.      Ищем решение уравнения (1), удовлетворяющее однородному краевому условию (2), среди функций класса . Для  получаем задачу Штурма-Лиувилля.

2.      Получаем  и соот. .

3.       получаем ДУ 1-го порядка с постоянными коэффициентами.

 – будет одно решение.

4.      .

5.      .

 

Теорема (У Дениса есть доказательство)

Непрерывная в замкнутой области  решение задачи (1), (2), (3) принадлежит классу А, при любом фиксированном значении  для уравнения параболического типа может быть представлена в виде ряда , где , .

Вывод уравнения теплопроводности, диффузия

Процессы распространения тепла или вещества описывается следующим уравнением:

.

 – температура среды

;  – плотность вещества.

 – коэффициент удельной теплоемкости.

 – коэффициент теплопроводности.

Среда изотропная, т.е. однородна по своим свойствам: , , – скаляры.

Баланс тепла в произвольном объеме  за время  можем определить следующим образом.

Пусть  – граница  и  – внешняя нормаль. Тогда по экспериментальному закону Фурье через поверхность  объема  будет поступать следующее количество тепла:

Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:

Учтем теперь источник:

 – количество тепла в объеме  от источника тепла.

Но температура в  за время  вырастит на следующую величину

.

Изменение потребует для реализации .

 

 – изменение температуры (по закону сохранения).

  .

В однородной среде ,  и  – константы.

 (4) – уравнение теплопроводности. .

1) – условие Дирихле – температура.

2)  – условие Неймана – задан тепловой поток.

3)  – смешанные – теплообмен по закону Ньютона с внешней средой, температура которой равна 0.

 

Рассмотрим подобласти  и . Граница между ними .

Идеальный контакт:

Рассмотрим:

 – стержень. .

; .

Рассматриваем данный процесс как стационарный (не зависящий от времени).

: ; ; .

Решением является  

При стационарном процессе потоки тепла, входящие и выходящие в любое поперечное сечение стержня, равны. Т.е. поток тепла будет постоянным в любой точке .

 – по закону Фурье.

Т.к. поток должен быть постоянен в , то по закону Фурье при постоянном коэффициенте теплопроводности это возможно  температура имеет линейный профиль.

 еще один класс решений уравнений теплопроводности. Он представляет собой бегущую волну со стационарным профилем:

 (1);   (2), где  – теплоемкость,  – теплопроводность.

(1) -> (2):

  (3) – линейное ДУ с постоянными коэффициентами.

Решением является , .

Тогда .

 – температура на бесконечности, т.е. там, куда тепло еще не успело прийти.

Так можно описать прогрев вещества, по которому со скоростью  распространяется вправо тепловая волна, которая поддерживает постоянную температуру .

 – любое волновое уравнение.

Пусть – гармоническая функция: .

 – решение.

Подставим все в исходное уравнение и прообразуем. Получим:

.

.

.

.

Обозначим .

 – уравнение Гельмгольца, которое описывает гармонические колебания.

 

Уравнения Максвелла

 – электрическое поле.

 – магнитное поле.

Рассмотрим связь между этими полями.

 – диэлектрическая проницаемость. .  – магнитная проницаемость.

 – ток проводимости.

 – объемная плотность заряда.

; ; .

1.      . изменение во времени магнитного поля порождает завихренность электрического.

2.      .

3.      . магнитное поле носит соленоидальный характер.

4.      .

Если среда однородная, изотропная, с постоянными коэффициентами , , , то можем получить уравнение 2-го порядка.

предположили, что , , .

   .

.

Если , то получаем гиперболическую волновую задачу.

Если , то получаем параболическую задачу.