Приведение к каноническому виду  ДУ в частных производных 2-ого порядка от  2-х переменных с постоянными коэффициентами

                        (1)

Матрица А имеет вид

Тогда дискриминант

Если  гиперболический тип

Если  параболический тип

Если  эллиптический тип

Замена

                                (2)

             (3)

Предположим что при этом преобразовании , тогда получим уравнение (4)

                    (4)

Разрешим это квадратное уравнение относительно                     (5)

По определению уравнение (4) – уравнение  характеристики. Все характеристики инвариантны при невырожденном преобразовании координат.

Сведем (4) к обыкновенному ДУ.

Пусть  - решение этого уравнения (4). Рассмотрим характеристику . Продифференцируем как неявно заданную функцию этих переменных.

Т.к. уравнение (4) однородно относительно  и , то их можно заменить пропорциональными величинами  и. Получим обыкновенное ДУ  вида:

                      (6)

                           (7)

                                     (8)

Получим 2 обыкновенных ДУ.

 => (8) имеет 2 решения => получаем два невырожденных преобразования, с помощью которого можно привести исходное уравнения к каноническому виду.

 => 1 преобразование

 => 2 комплексных величины, которые позволяют найти два невырожденных преобразования