Метод разделения переменных (метод Фурье)

Искомое решение ищем в виде ряда Фурье по некоторой системе ортогональных функций. Этот метод используется для решения краевых задач, когда граничные условия заданы на координатных поверхностях (, сферические, цилиндрические).

Пусть  нужно найти и  – точка пространства области  с кусочно-гладкой границей .  непрерывна всюду в замкнутой области .

 при :  (1), где  – оператор Лапласа.

 удовлетворяет:

начальным условиям:                      краевым условиям:

                    

 должна быть единственной.

Уравнение (1) и краевые условия (2) линейные и однородные  если  и  – решение уравнения (1), удовлетворяющие краевым условиям (2), то  – тоже решение (1) и удовлетворяет (2).

Попытаемся с помощью суперпозиции всех ЛНЗ частных решений, каждое из которых удовлетворяет (2), удовлетворить и начальным условиям (3), т.е. найти нетривиальное решение задачи (1), удовлетворяющее (2).

Будем искать решение в классе функций , где – непрерывное всюду при  от  до . Подставим эту функцию в (1) и, т.к. ищем ненулевое решение, разделим на .

Получим

                   (4)

Чтобы (4) было тождественным  чтобы правая и левая части (4) были равны одной и той же константе, т.е.

          (5)

Тогда должны выполняться тождества:

Выполнение (6) и (7) означает, что  и  должны быть решениями соответствующих уравнений:

   (8) и    (9)

  (10)

Это ((9) и (10)) – задача Штурма-Лиувилля, имеющее нетривиальное решение не при всех значениях .

df: Для однородной или неоднородной краевой задачи в области , ограниченной поверхностью , определим класс А функций .

I тип: к классу А будем относить все непрерывные, замкнутые в области  функции , принимающие на границе  значение 0.

II тип: к классу А относятся все непрерывные в замкнутой области  вместе со своими первыми частными производными функции , которые на границе  удовлетворяют .

III тип: II тип, но на границе .

Если коэффициент  и коэффициенты в операторе  непрерывны и неотрицательны в замкнутой области , то справедлива

Теорема 1

 бесконечное (счетное) множество собственных значений  и соотв. им собственных функций  краевой задачи (9), (10), принадлежащих любому типу классу А.