Полубесконечная струна

 - уравнения колебания струны

Начальные условия

            (1)

Конец струны закреплен       (-отклонение от положения равновесия)

Метод падающей и отраженной волн

Применим формулу Даламбера  к решению задачи (1). Решение представим в виде (*). Формула Даламбера работает . Начальные условия заданы только для

Главная характеристика – характеристика, которая выходит из особой точки в области , т.е. той области, в которой мы ищем решение задачи (1).

Формула Даламбера для задачи (1) справедлива только для , т.е. в области, лежащей под главной характеристикой, а нам надо везде в области . Найдем решение (1) в области над главной характеристикой, т.е. там где . Воспользуемся представлением решением (*). Оно справедливо всюду при , но волна  найдем по формуле следующего вида:

           (3)      

Это справедливо в области , т.е. только под главной характеристикой.

Волна  находится по формуле

            (4)

Она определена всюду где . Т.о. нам необходимо найти  над главной характеристикой (при ). Воспользуемся краевым условием . Тогда          (5). Формула (5) связывает неизвестное значение функции  при отрицательных аргумента с известным значением, которое определяется формулой (4), причем определяется при положительных значениях и .

Сделаем замену ,тогда (5) принимает вид . Из (4) имеем при  

           (6)

(6)(3) При справедлива формула Даламбера (2), а при  справедлива формула

       (7)

Решение задачи (1) задается двумя формулами. При  (под главной характеристикой) определяется формулой (2), а при  формулой (7), которая соответствует части над главной характеристикой. В области и волна называется падающей волной. Падает она на левый конец струны . А волна  отражающаяся от этого же конца волна.

Разрывы решения вдоль главной характеристики. Условие непрерывности

Решение задачи (1) определяется разными формулами для  и , поэтому вдоль линии  может быть разрывным. Разрыв любого решения уравнения (1) вдоль линии  есть величина постоянная (может быть и нулевым). Действительно, , значит

1. Волна  непрерывна при переходе через главную характеристику, т.е. - (линии уровня  пересекают прямую ).
2. Волна  снизу от главной характеристики  имеет некоторый предел  (т.к. ). Сверху от главной характеристики () имеет некоторый предел . Значит

Условия непрерывности имеют вид              (8)

Найдем теперь эти пределы. Из (3) .  Из (6)  Условие (8) имеет вид            (8’)  В области  в силу граничного условия на оси  решение всюду равно нулю, а на оси это решение равно условие (8’) – это просто условие непрерывности граничных значений функции  в точке . Это и есть необходимое и достаточное условие для непрерывности решения на всей главной характеристике.