Теорема Стеклова (о разложимости)

Любая функция  из класса А разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи краевой (9), (10). Причем этот ряд абсолютно и равномерно сходится всюду в области .

Решаем задачу (1), (2), (3) методом Фурье:

1)      Ищем решение уравнения (1), удовлетворяющее (2), среди всех . Для  сформулируем задачу Штурма-Лиувилля (9), (10).

2)      Решаем (9), (10). Пусть в результате решения нашли  и соответствующие им собственные значения .

3)      Для каждого из собственных значений  решаем (8): .

Решение - .   (11)

4)      Частным решением служат функции .            (12)

5)      (12) просуммируем по : .  (13)

 удовлетворяет условиям (2), т.к. является решением (9), (10).

Теорема 2

Непрерывное в замкнутой области  решение задач (1), (2), (3), принадлежащее соответствующему классу А, при любых фиксированных значениях  для уравнения гиперболического типа может быть представлено в виде (13), в котором , где  – элемент объема и , .

Доказательство.

Оператор  на функциях  класса А будет самосопряженным  последовательность  будет положительной.

Пусть  – искомое решение и при  пусть оно принадлежит классу А.

Тогда по теореме Стеклова это решение можно представить в виде ряда Фурье, т.е.   (14),  где   (15).

Воспользуемся (9): .

 подставим в (15):

.

Воспользуемся  (1). Получим:

Сравним (15) и (16):

.  (16)

Сравним (15) и (16):

.

; , где , .

Из (15)  

.

.

 и  – коэффициенты ряда Фурье.

.

.

 – коэффициенты разложения  по функциям .