Задача Коши для бесконечно протяженного стержня (одномерного)

 

,

Доказательство единственности решения:

Предположим, что решение ограничено во всей области. Пусть  – решения задачи  с начальными условиями . Тогда введем в рассмотрение , кроме того . В силу  неограниченности области и отсутствия граничных условий воспользоваться  теоремой о максимуме и минимуме мы не можем. Рассмотрим конечную область и функцию . Функция – решение уравнения  и при  и при  функция

.

Теперь можно применить теорему о максимуме и минимуме, тогда получим

в области .

Отсюда

. Выбираем достаточно большое значение  и, фиксируя некоторое , получим . Отсюда, в силу произвольности выбора точки .

То есть 2-х решений (различных) задачи Коши, удовлетворяющих одному и тому же начальному условию, не может быть. Если два начальных условия отличаются не более чем на , то и два решения задачи Коши отличаются не более чем на достаточно малое , что свидетельствует об устойчивости задачи Коши.

Существование решения задачи Коши

Воспользуемся методом разделения переменных. Пусть решение имеет вид

Вообще мы не можем применить задачу Штурма-Лиувилля, но каждое из уравнений решить можем.

Поскольку здесь – параметр, то .

Найдем отсюда частное решение

 . Отсюда . Функции и надо найти так, чтобы начальное условие  удовлетворялось.

. Для функции можем выписать интеграл Фурье

.

Сравним это с и получим, что

Подставим это выражение в выражение и отсюда

Замена переменных: , тогда

Вычислим :

При  

Если удастся сформулировать задачу Коши, образовав , то мы найдем  как решение некоторого ДУ.

     

. Здесь  - параметр.

Рассмотрим : - Фундаментальное решение одномерного параболического  уравнения .                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

 

Особенности фундаментального решения:

1. Если уравнение теплопроводности, то тепло распространяется мгновенно.
2. Решение задачи Коши – непрерывная функция и непрерывно дифференцируемая сколько угодно раз по  вне зависимости от того, будет ли иметь производные этих порядков функция .

Физический смысл функции  для однородного уравнения теплопроводности.

 

Будем полагать, что функция  всюду вне промежутка , а внутри она постоянна.

В начальный момент времени стержню сообщили начальное количество тепла, которое вызвало изменение температуры всего стержня

Начальный отрезок   может быть бесконечно малым, далее распределение температуры на этом  участке целиком определяется формулой и будет равно

Устремим , количество тепла  будем сообщать все меньшему и меньшему участку. От действия такого точечного источника получим