1. Алгоритм Бройдена

Бройден показал, что если оказывается симметрической матрицей с рангом равным единице и должно удовлетворяться соотношение

,

то единственным возможным выбором является соотношение:

,                              (7)

где  

,   .

Последовательность шагов алгоритма:

1. Задается начальное приближение и некоторая положительно определенная матрица (например, единичная ).

2. Вычисляется

,

так, что  

.

3. Находится очередное приближение матрицы

,

где находится по формуле (7).

4. Проверяется критерий останова, например,  . Если он не выполняется, то на шаг 2.

Если целевая функция является квадратичной, то направления поиска на последующих итерациях оказываются сопряженными и для определения минимума оказывается достаточным сделать шагов.

В случае минимизации неквадратичной функции возможны нежелательные явления, например:

1. Матрица может перестать быть положительно определенной. В этом случае необходимо обеспечить ее положительную определенность каким-либо способом.

2. Вычисляемая величина вследствие ошибок округления может стать неограниченной.

3. Если на текущем шаге случайно совпадает с направлением поиска на предыдущем шаге, то матрица становится сингулярной или неопределенной.

Чтобы избежать этих явлений, стараются обновлять алгоритм после шагов, считая -ю итерацию начальной.

Рис.